Esercizio 8 foglio 7

Domanda: Qual è il prezzo di non arbitraggio di un fra in un istante t successivo alla stipula e precedente al fixing? (Esercizio 8 foglio esercizi 7; fra l'altro la soluzione di questo esercizio e del successivo lei non le ha pubblicate...)

Risposta: l'esercizio 8 (e anche il 9) del foglio 7 si può definire un ''esercizio teorico'': si pone un problema generale e si chiede di risolverlo con dei ragionamenti. Per questo non ci sono le soluzioni su excel. Sono esercizi di approfondimento e mi aspettavo di discuterne con voi durante il corso a ricevimento. Tant'è che in effetti ne ho discusso con 5 studenti. In effetti la soluzione è piuttosto difficile e bisogna avere l'idea giusta per trovarla. Brevemente:

Se si scrive il payoff in s del FRA(0) stipulato in 0, ponendo per semplicità C=1, s-T=1:
payoff=[i-F(0)],
dove i=i(T,s) e F(0)= tasso FRA stabilito all'istante di stipula 0,
si può decomporre tale payoff in
[i-F(t)]+[F(t)-F(0)];
dove F(t) è il tasso FRA all'istante t;
cioé il nostro FRA (stipulato in 0) in t si può vedere come un portafoglio composto dal FRA(t) stipulato in t e di [F(t)-F(0)] quote dello ZCBU che scade in s. Il valore del nostro FRA(0) si ottiene dunque come la somma dei valori dei due titoli del portafoglio:
V(t,FRA(0))=V(t,FRA(t))+[F(t)-F(0)]v(t,s);
ma V(t,FRA(t))=0, dato che è il valore del FRA stipulato in t al tasso FRA F(t). E dunque il valore richiesto, o prezzo di non arbitraggio, è
V(t,FRA(0))=[F(t)-F(0)]v(t,s).