Domanda: le formule: P=F(1+R)^-S e P=F/(1+RS) sono equivalenti? quando applico l'una e quando l'altra?

Risposta:  Equivalenti proprio no, sono diverse, in particolare restituiscono risultati diversi.
La prima P=F/(1+RS) rappresenta il valore attuale secondo una legge di capitalizzazione semplice, cosidetta legge degli interessi semplici.
La seconda P=F(1+R)^-S rappresenta il valore attuale in capitalizzazione continua. I rispettivi fattori di capitalizzazione sono raffigurati sul foglio excel capitalizzazione.xls scaricabile dalla pagina del corso.
Quale legge utilizzare dipende dal contratto finanziario che hai di fronte e da quella utilizzata per calcolare gli interessi in tale contratto (esempio: un conto corrente, un libretto di risparmio, ecc.). Come ho cercato di spiegare all'inizio del corso, i contratti finanziari vanno letti bene per sapere come calcolano gli interessi.

Temo però che tu ti riferisca alle formule in relazione ai BOT, in particolare alla relazione tra prezzo e rendimento nei BOT. La cosa però non è esplicitata nella domanda e sarei tentato di non rispondere a questo. Vi prego di nuovo di formulare in modo corretto e completo le domande. La domanda è posta come a dire: quale delle due devo usare allo scritto (altrimenti detto:che voi da me?)? Questo è un approccio che ritengo sbagliato.

Rispondo lo stesso, per completezza e anche per tutti gli altri, sottolineando che comunque io quello che segue l'ho spiegato a lezione (e credo anche più di una volta).
Nel caso di un BOT, si forma sul mercato il prezzo per un certo valore di rimborso, convenzionalmente posto pari a 100.
Come rendimento annuo del BOT, la Banca d'Italia e il sole 24 ore riportano quello che chiamano il rendimento semplice, ovvero utilizzano la legge degli interessi semplici, cioè
R=(F/P-1)/s, dove s è espresso in anni. Non l'ho deciso io, è così, come ho mostrato a lezione guardando i dati e come si può vedere guardando il materiale didattico sulla pagina del corso.

Un'altra scelta naturale è quella di utilizzare il rendimento a scadenza, e dunque R tale che
P=F(1+R)^-S, ovvero R=(F/P)^(1/s)-1, dove s è espresso in anni. Questo sarebbe il TIR del BOT, in analogia con la teoria degli investimenti e anche delle obbligazioni con cedola come i BTP (si veda il documento di Banca d'Italia scaricabile dalla pagina del corso sulla definizione di rendimento a scadenza di un BTP). Questo ha sempre senso farlo, in particolare se si vuole confrontare il rendimento del BOT con quello delle altre obbligazioni con cedola.

Perché la Banca d'Italia calcola il rendimento semplice? Io credo perché il BOT ha sempre scadenza sotto l'anno e dunque si ritiene opportuno usare la legge degli interessi semplici per confrontare il rendimento del titolo con quelli di altri strumenti del mercato monetario a breve termine, come i tassi per i prestiti interbancari (es: euribor) o i tassi dei conti correnti per depositi a breve termine. Invece, come ho accennato a lezione, ad esempio per i CTZ, che sono ZCB sempre emessi dallo stato italiano, il rendimento calcolato è il TIR, dato che questi possono avere scadenze fino a due anni.

Si noti infine che per un BOT, che appunto è uno ZCB con scadenza breve, le due formule portano sì a risultati diversi, ma molto vicini dal punto di vista numerico, per cui di fatto non fa grande differenza. In particolare, se s=1 anno, i due risultati sono identici pari a F/P-1, cioè il tasso d'interesse dell'operazione. Se invece la scadenza dello ZCB fosse lunga, allora i risultati differirebbero sensibilmente.