Domanda: Buongiorno Prof., facendo esercitazioni proposti da Prof. Pagliacci sul calcolo di integrali indefiniti mi sono imbattuta in due tipi di integrali che purtroppo non sono in grado di risolvere, perciò li chiedo di indicarmi quali regole e/o teoremi bisogna usare per calcolarli e se potrebbe indicare anche i risultati di questi integrali per un confronto.

∫ (7x^3−2) / (x^2+4) dx,
∫ (1 + e^{3x})^2e^{3x} dx

Risposta: ∫ (7x^3−2) / (x^2+4) dx
non abbiamo visto a lezione le funzioni razionali, le potete trovare sul libro. La prima cosa da fare è la divisione
(7x^3−2) / (x^2+4)=7x -(28x+2)/(x^2+4)=7x-28 x/(x^2+4) -2/(x^2+4)
Il primo è immediatamente integrabile, il secondo anche, riconoscendo al numeratore la derivata del denominatore, il terzo pezzo è immediato, ma non l'abbiamo fatto, ha a che fare con la funzione arcotangente. Il risultato è
∫ (7x^3−2) / (x^2+4) dx=7/2x^2 -14 ln(x^2+4)- arctan (x/2)+C

∫ (1 + e^{3x})^2e^{3x} dx
questo è immediato, dato che 3e^{3x} è la derivata di e^{3x}, dunque
∫ (1 + e^{3x})^2e^{3x} dx=
∫1/3 (1 + e^{3x})^2  3e^{3x} dx= 1/9(1+e^{3x})^3+ C

I risultati sono verificabili derivando, tenendo conto che
(arctan x)' = 1/(1+x^2)